Mein Wort zum Sonntag: Haarige Mathematik

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Beitrag von News Team

Die Mathematik ist eine seltsame Geistesdisziplin. Sie kann Dinge beweisen, die niemand interessieren, und Dinge erklären, die der Wissenschaft ein Rätsel bleiben. Heute zwei kuriose Erkenntnisse aus dem Bereich des Kopfhaars.

In Bielefeld gibt es mindestens zwei Menschen mit exakt gleich vielen Haaren auf dem Kopf

Wieso gerade Bielefeld? Nicht so wichtig, jede Stadt über 150.000 Einwohner tut es auch. Und wie kommt man zu der Erkenntnis? Mit dem Taubenschlagprinzip. Das klingt einfach, führt aber zu weitreichenden Konsequenzen. Kurz gesagt: Wenn es 10 Verschläge für Tauben gibt, aber 11 Tauben gleichzeitig zurückkommen, dann müssen in mindestens einem Taubenschlag mindestens zwei Tauben hocken. (Es können sich auch alle in einen einzigen Verschlag drängen, rein mathematisch. Daher das "mindestens".)
Nun ersetzen wir die Tauben durch Menschen, die Verschläge durch "Haarkategorien". Es gibt maximal 150.000 solche Kategorien, denn mehr Kopfhaare hat kein normaler Mensch. Abgesehen von Glatzen (die wir hier ignorieren) gehören zur ersten Kategorie alle Menschen mit genau einem Haar auf dem Kopf, zur zweiten Kategorie alle Menschen mit genau zwei Haaren auf dem Kopf, zur dritten Kategorie ... usw. Zur letzten Kategorie gehören alle Menschen mit genau 150.000 Haaren. Mehr Kategorien (Taubenschläge) gibt es nicht, aus biologischen Gründen. Sind aber mehr Menschen vorhanden, so müssen sich diese irgendeine der 150.000 Kategorien (Taubenschläge) mit einem Zeitgenossen teilen - mit dem sie dann exakt gleich viele Haare haben.
Der Beweis ist eindeutig, für den Nicht-Mathematiker aber eher eigenartig: Hier wird ein Phantom bewiesen. Denn wie finde ich denn diese beiden Menschen? Antwort: So wie die Großmutter die drei goldenen Haare ihres Enkels aus dem Grimmschen Märchen ... also gar nicht. Typisch Mathematiker eben.

Jeder Mensch hat eine haarlose Stelle auf dem Kopf - aus mathematischen Gründen

Bei Säuglingen ist diese Stelle gut zu sehen. Von den Biologen kommen keine Erklärungen dazu, die liefert die Mathematik, genauer: der Brouwersche Fixpunktsatz. Nehmen Sie jeden Punkt der Kopfhaut - das entspricht je einer Haarwurzel - und verschieben Sie diesen an eine andere Stelle der Kopfhaut. Das wäre dann die Haarspitze, und den Verschiebungsweg - also das Haar - nennen die Mathematiker eine "stetige Transformation". Nun hat der holländische Mathematiker Luitzen Brouwer um 1920 entdeckt, dass es bei einer solchen Transformation eines geschlossenen Bereichs (also der Kopfhaut) in sich selbst (also mit nur kurzen Haaren) mindestens einen Punkt geben muss, der nicht transformiert werden kann, dessen Endpunkt also gleich dem Anfangspunkt ist. Oder, ins Praktische übersetzt: Die Haarlänge muss dann gleich null sein, was auf Deutsch heißt: kein Haar. Dafür ein "Wirbel", rein mathematisch erzwungen.
Der Beweis des Fixpunktsatzes ist kompliziert und noch unbefriedigender als der mit dem Taubenschlagprinzip. Brouwer hat nämlich bewiesen, dass das Gegenteil des Satzes nicht zutreffen kann, eine reichlich indirekte Angelegenheit. Er selbst lehnte diese Vorgangsweise (und mithin seinen eigenen Beweis) später ab und begründete eine andere Mathematik. Doch das ist, wie Kipling sagen würde, eine ganz andere Geschichte.